Teoria dos Conjuntos 2

Revisão de Matemática: Teoria dos Conjuntos 2

Matemática: Teoria dos Conjuntos 2

Resumão – Revisão da Matéria de Matemática – Revisando seus conhecimentos
Matemática: Teoria dos Conjuntos 2

Revisão de Matemática: Teoria dos Conjuntos 2

 

Teoria dos Conjuntos 2
4.2 – Interseção ( ∩ )
Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto interseção A ∩ B = {x; x ∈ A e x ∈ B}.
Exemplo: {0,2,4,5} ∩ { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

Propriedades imediatas:
a) A ∩ A = A
b) A ∩ ∅ = ∅
c) A ∩B = B ∩ A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A ∩ U = A onde U é o conjunto universo.

São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) È ( A ∩ C) (propriedade distributiva)
P2. A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C) (propriedade distributiva)
P3. A ∩ (A ∪ B) = A (lei da absorção)
P4. A ∪ (A ∩ B) = A (lei da absorção)
Obs: Se A ∩ B = ∅, então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
4.3 – Diferença: A – B = {x ; x ∈ A e x ∉ B}.
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
{ 0,5,7} – {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} – {1,2,3} = {4,5}.

Propriedades imediatas:
a) A – ∅ = A
b) ∅ – A = ∅
c) A – A = ∅
d) A – B ≠ B – A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

4.3.1 – Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é, que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B ⊂ A, a diferença A – B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .
Simbologia: CAB = A – B.

Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja, U – B, é indicado pelo símbolo B’ . Observe que o conjunto B’ é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: B’ = {x; x ∉ B}. É óbvio, então, que:
a) B ∩ B’ = ∅
b) B ∪ B’ = U
c) ∅’ = U
d) U’ = ∅

5 – Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 – nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 – a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 – a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}

Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio – Ø.
Assim, o conjunto das partes de A será: P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }

Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):
X = { {2}, {3,5} }
Observe que X é uma partição de A – cuja simbologia é part(A) – pois:
a) nenhum dos elementos de X é Ø.
b) {2} ∩ {3, 5} = Ø
c) {2} ∪ {3, 5} = {2, 3, 5} = A

Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A.
Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.

Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, …}, {1, 3, 5, 7, …} } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, …} ∩ {1, 3, 5, 7, …} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, …} ∪ {1, 3, 5, 7, …} = N.
6 – Número de elementos da união de dois conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

Representando o número de elementos da interseção A ∩ B por n(A ∩ B) e o número de elementos da união A ∪ B por n(A ∪ B), podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

 

Conjuntos numéricos

• Números Naturais: {1,2,3,4,5,……,11,12,…..}
• Números Inteiros: {….,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
• Sequências: {0,1,2,….,10,11,12,13,…}
• Números Racionais: {p/q | p e q são números inteiros, q = 0}; os conjuntos de números naturais, números inteiros e sequenciais, assim como os números que podem ser grafados em frações, são subconjuntos dos números racionais.
• Números Irracionais: {x|, x é um número real, mas não um número racional }; os conjuntos de números racionais e irracionais não tem elementos em comum e por isso são conjuntos desarticulados.
• Números Reais: {x|x é a coordenada de um ponto em uma linha numérica}; a união do conjunto de números racionais com um conjunto de números irracionais equivale ao conjunto de números reais.
• Números Imaginários: {ai| a é um número real e i é o número cuja segunda potência é -1}; i² = -1; os conjuntos de números reais e imaginários não tem elementos comuns e são conjuntos desarticulados.
• Números Complexos: {a + bi| a e b são números reais e i é o número cuja segunda potência é -1}; o conjunto de números reais e o de imaginários são subconjuntos dos números complexos.

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Veja também: Fórmulas de matemática

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