Teoria das Funções

Revisão de Matemática: Teoria das Funções

 

Matemática: Teoria das Funções

Resumão – Revisão da Matéria de Matemática – Revisando seus conhecimentos
Matemática: Teoria das Funções

Revisão de Matemática: Teoria das Funções

 

Teoria das Funções – Definição

Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por: f : A → B ; y = f(x), a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A, um único elemento de B.

Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada x ∈ A esteja associado um único y ∈ B, podendo entretanto existir y ∈B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.

Obs.: na notação y = f(x), entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está associado a x através da função f.
Exemplo:

f(x) = 4x+3; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto, 11 é imagem de 2 pela função f;
f(5) = 4.5 + 3 = 23, portanto 23 é imagem de 5 pela função f, f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.

Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio.

Quando D(f) ⊂ R e CD(f) ⊂ R, sendo R o conjunto dos números reais, dizemos que a função f é uma função real de variável real. Na prática, costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define, sendo o conjunto dos valores possíveis para x, chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y, chamado de conjunto imagem da função.

Assim, por exemplo, para a função definida por y = 1/x, temos que o seu domínio é D(f) = R*, ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero), e o seu conjunto imagem é também R*, já que se y = 1/x, então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero.

Dada uma função f : A → B definida por y = f(x), podemos representar os pares ordenados (x, y) ∈ f onde x ∈ A e y ∈ B, num sistema de coordenadas cartesianas.
O gráfico obtido será o gráfico da função f.

Assim, por exemplo, sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f, podemos dizer que:
a) a projeção da curva sobre o eixo dos x, nos dá o domínio da função.
b) a projeção da curva sobre o eixo dos y, nos dá o conjunto imagem da função.
c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função, intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto.

Veja a figura abaixo:

 

Teoria das Funções – Tipos de funções

Função sobrejetora

É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio.
Exemplo:

 

Função injetora

Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio, possuem imagens distintas,
isto é:
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

Exemplo:

 

Função bijetora

Uma função é dita bijetora, quando é ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.
Exemplo:

 

3 – Paridade das funções

3.1 – Função par

A função y = f(x) é par, quando ∀ x ∈ D(f), f(- x ) = f(x), ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( x ) = f (- x ). Portanto, numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem.
Uma consequência desse fato é que os gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.
Exemplo:

y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Por exemplo,
f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17
O gráfico abaixo, é de uma função par.

 

Função ímpar

A função y = f(x) é ímpar, quando ∀ x ∈ D(f), f( – x ) = – f (x), ou seja, para todo elemento do seu domínio, f(-x) = -f(x). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas.
Uma consequência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.
Exemplo:

y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(-x) = -f(x).
Por exemplo, f(-2) = (-2)3 = -8 e -f(x) = -(23) = -8.

O gráfico abaixo é de uma função ímpar:


Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade.

Exemplo: O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem.


Continue estudando Revisão de Matemática: Teoria das Funções – parte DOIS

 

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