Matrizes

    Características de uma Matriz

    a) Seja a matriz A = [a_ij]_mxn

Submatriz de A é qualquer matriz que se obtém de A eliminando-se "i" linhas e "s" colunas. Seu determinante é chamado "menor" de A, se a submatriz for quadrada.

b) Características de A: "É a ordem máxima dos "menores" não todos nulos que se pode extrair de "A".

c) Teorema de kronecker: A característica de uma matriz é "p" se e somente se:

• Existir pelo menos um menor de ordem p diferente de zero. (determinante de ordem p diferente de zero).

• Todos os menores orlados ao menor do item (i) de ordem p+1 são iguais a zero.

d) Propriedades de Características: A característica de uma matriz não se altera quando:

• trocamos entre si duas filas paralelas

• trocamos ordenadamente linhas por colunas

• multiplicamos uma fila por uma constante K diferente de 0

• acrescentamos ou eliminamos filas nulas

• acrescentamos ou eliminamos uma fila que seja combinação linear de outras filas paralelas

• somamos a uma fila uma combinação lienar de outras filas paralelas.

Discussão de um Sistema Linear (S)

Seja o sistema (S) definido em "(I.a)" e ainda:

"p" = característica da matriz incompleta (MI)

"q" = característica da matriz completa (MC)

"m" = número de equações

"n" = número de incógnitas

Teorema de Rouche-Capelli:

p ≠ q  <==> Sistema impossível (SI)

p = q = n  <==> Sistema Possível e Determinado (SPD)

p = q < n  <==>  Sistema Possível e Indeterminado (SPI)

Obs.: no (SPI), o número: G_i = n - p  é chamado grau de Indeterminação do Sistema.

Sistema Linear Homogênio (S.L.H.): Seja o sistema linear homogênio

• as matrizes M.I. e M.C. embora diferentes terão certamente a mesma característica  p = q  (S.L.H. é pois, SEMPRE POSSÍVEL).

• a ênupla (0,0,...,0) sempre é solução da equação: 

a_i1x₁ + a_i2x₂ + ...+a_inx_n = 0, a_i Є IR (chamada trivial).

• A "C.N.S." para um S.L.H. admitir:

só a solução trivial é : p = n

outras soluções além da trivial é :  p < n

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