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  Matemática
 

Juros simples/compostos

 

JUROS SIMPLES

    O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Onde:

J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos

        Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

    Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

   Montante = Principal + Juros
   Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + i . n )

    Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

    SOLUÇÃO:
    M = P . ( 1 + (i.n) )
    M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

    Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.


   Exercícios sobre juros simples:

   1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

    0.13 / 3 = 0.0433.. implica que 13% a.t. equivale a 4,33..% a.m.
    4 m 15 d = 4,5 m, pois 15 dias significa 0,5 m.
    Então j = 1200 x 0.0433..x 4,5 = 234

    2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

    Temos: J = P.i.n
    A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360  = 0,001 a.d.
    Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
    J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

    3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

    Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
    Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
    3500 = P. 0,012 x 2,5 = P . 0,030; 
    Daí, vem:  P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

   4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

    Objetivo: M = 2.P
    Dados: i = 150/100 = 1,5
    Fórmula: M = P (1 + i . n)
    Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses

JUROS COMPOSTOS

    O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

    Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:

    1º mês: M =P.(1 + i)
    2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
    3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

    Simplificando, obtemos a fórmula:
  

M = P . (1 +  i)n

    Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

    Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
  

J = M - P

    Exemplo:

   Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.

   Resolução:

   P = R$6.000,00
    t = 1 ano = 12 meses
    i = 3,5 % a.m. = 0,035
    M = ?

   Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:

   M  =  6000.(1+0,035)12  =  6000. (1,035)12 = 6000.1,511 = 9066,41.
   Portanto o montante é R$9.066,41

Relação entre juros e progressões

    No regime de juros simples:
    M( n ) = P + P.i.n  ==> P.A. começando por  P e razão J = P.i.n

    No regime de juros compostos:
    M( n ) = P . ( 1 + i ) n ==> P.G. começando por P e razão ( 1 + i ) n

    Portanto:

  • num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética
  • num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica

 

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