Estatísticas

INTRODUÇÃO:

Há três ramos principais da estatística: estatística descritiva, que envolve a organização e a sumarização de dados; a teoria da probabilidade, que proporciona uma base racional para lidar com situações influenciadas por fatores relacionados com o acaso, assim como estimar erros; e a teoria da inferência, que envolve análise e interpretação de amostras.

A Estatística, de modo geral, constitui um valioso instrumento para tomada de decisões.

Outra característica da Estatística é o uso de modelos. Estes são formas simplificadas de algum problema ou situação real. A característica fundamental dos modelos é o fato de reduzirem situações complexas a formas mais simples e mais compreensíveis.

Neste curso, daremos ênfase a teoria da probabilidade como ferramenta para tomada de decisão.

PROBABILIDADE

“As origens da matemática da probabilidade remontam ao século XVI. As aplicações iniciais referiam-se quase todas a jogos de azar. Os jogadores aplicavam o conhecimento da teoria das probabilidades para planejar estratégias de apostas. Mesmo hoje ainda muitas aplicações que envolvem jogos de azar, tais como diversos tipos de loterias, os cassinos de jogos (No Brasil Bingos) e os esportes organizados. Todavia, a utilização das probabilidades ultrapassou de muito o âmbito desses jogos. Hoje muitas organizações (públicas ou privadas) já incorporaram a teoria das probabilidades em seus processos diários de deliberações”.

O ponto central em todas as situações onde usamos probabilidade é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado EVENTO.

As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento.

EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS, ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO.

Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios.

Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos.

Se tomarmos um determinado sólido, sabemos que a uma certa temperatura haverá a passagem para o estado líquido. Esse exemplo caracteriza um fenômeno determinístico.

Nos fenômenos aleatórios, os resultados não serão previsíveis, mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo fenômeno.

Por exemplo: se considerarmos a produção agrícola de uma determinada espécie, as produções de cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo que as condições de temperatura, pressão, umidade, solo sejam as mesmas para todas as plantas.

Podemos considerar  como experimentos  aleatórios  os fenômenos produzidos pelo homem.

Exemplos:

a) lançamento de uma moeda;

b) lançamento de um dado;

c) determinação da vida útil de um componente eletrônico;

d) previsão do tempo.

A cada experimento aleatório está associado o resultado do mesmo, que não é previsível, chamado evento aleatório.

Um conjunto S que consiste de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO

A probabilidade de um evento A, denotada por P(A), é um número de 0 a 1 que indica a chance de ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1 é P(A), maior é a chance de ocorrência do evento A, e quanto mais próxima de zero, menor é a chance de ocorrência  do evento A. A um evento impossível atribui-se probabilidade zero, enquanto que um evento certo tem probabilidade 1,0.

As probabilidades podem ser expressas de diversas maneiras, inclusive decimais, frações e percentagens. Por exemplo, a chance de ocorrência de um determinado evento pode ser expressa como 20%; 2 em 10; 0,20 ou 1/5.

Os numeros-índices são medidas estatísticas freqüentemente usadas por administradores, economistas e engenheiros, para comparar grupos de variáveis relacionadas entre si e obter um quadro simples e resumido das mudanças significativas em áreas relacionadas como preços de matérias-primas, preços de produtos acabados, volume físico de produto etc. Mediante o emprego de números-índices é possível estabelecer comparações entre:

a) variações ocorridas ao longo do tempo;

b) diferenças entre lugares;

c) diferenças entre categorias semelhantes, tais como produtos, pessoas, organizações etc.

É grande a importância dos numeros-índices para o administrador, especialmente quando a moeda sofre uma desvalorização constante e quando o processo de desenvolvimento econômico acarreta mudanças continuas nos hábitos dos consumidores, provocando com isso modificações qualitativas e quantitativas na composição da produção nacional e de cada empresa individualmente. Assim, em qualquer análise, quer no âmbito interno de uma empresa, ou mesmo fora dela, na qual o fator monetário se encontra presente, a utilização de numéros-índices toma-se indispensável, sob pena de o analista ser conduzido a conclusões totalmente falsas e prejudiciais à empresa. Por exemplo, se uma empresa aumenta seu faturamento de um período a outro, isso não quer dizer necessariamente que suas vendas melhoraram em termos de unidades vendidas. Pode ter ocorrido que uma forte tendência inflacionaria tenha obrigado a empresa a aumentar acentuadamente. Os preços de seus produtos, fazendo gerar um acréscimo no faturamento (em termos "nominais"), o qual, na realidade, não corresponde a uma melhora de situação.

Fora dos problemas gerados por alterações nos preços dos produtos, os numeros-índices são úteis também em outras áreas de atuação da empresa como, por exemplo, no campo da pesquisa de mercado. Neste caso, podem ser utilizados nas mensurações do potencial de mercado, na analise da lucratividade por produto, por canais de distribuição etc. Em suma, os números-índices são sempre úteis quando nos defrontamos com análises comparativas.

Para o economista, o conhecimento de número-índices é indispensável igualmente como um instrumento útil ao exercício profissional, quer seus problemas estejam voltados para a microeconomia quer para a macroeconomia. No primeiro caso, poder-se-ia citar, por exemplo, a necessidade de se saber até que ponto o preço de determinado produto aumentou com relação aos preços dos demais produtos em um mesmo mercado. Se, por outro lado, o problema for quantificar a inflação, serem preciso medir o crescimento dos preços dos vários produtos como um todo, através do índice geral de preços.

Sob os aspectos acima considerados, pode-se vislumbrar a noção de agregado subjacente ao conceito de número-índice. Por essa razão, costuma-se conceber o número-índice como uma medida utilizada para proporcionar uma expressão quantitativa global a um conjunto de medidas que não podem ser simplesmente adicionadas em virtude de apresentarem individualmente diferentes graus de importância.

Cada número-índice de uma série ( de números) costuma vir expresso em termos percentuais. Os índices mais empregados medem, em geral, variações ao longo do tempo e exatamente nesse sentido que iremos trata-los neste capitulo. Além disso, limitaremos o estudo às suas principais aplicações no campo de administração e de economia, as quais se situam no âmbito das variações de preços e de quantidades.

2. CONCEITO DE RELATIVO

A quantidade total de dinheiro gasto cada ano, em relação a certo ano base, varia de um ano para outro devido as variações no número de unidades compradas dos diferentes artigos e igualmente devido a mudanças nos preços unitários de tais artigos. Temos, portanto, três variáveis em jogo: preço, quantidade e valor, sendo este último o resultado do produto do preço pela quantidade.

2.1. Relativo (Relação) de Preço

Trata-se do número-índice mais simples. Relacionando-se o preço de um produto numa época  (chamada época atual ou época dada) com o de uma época o (chamada básica ou simplesmente base) teremos um relativo de preço. Fazendo-se P t = preço numa época atual e Po preços na época-base, definirão relativo de preço pela seguinte quantidade:

p(o,t)  pt

po

Se quisermos expressar em termos percentuais o relativo de preço, bastará multiplicarmos o quociente acima por 100.

p(o,t)  = pt    X 100

po

NOTA

O símbolo p(o,t) pode ser escrito também: po,t.

Exemplo

O preço de determinando artigo em 1979 foi Cr$ 1,20 e em 1980 subiu para Cr$ 1,38. Tomando-se por base o ano 1979, determinar o preço relativo em 1980.

Solução

O ano considerado base corresponderá sempre ao índice igual a 100. Os demais apresentarão, portanto, valores que flutua no em torno de 100. Então:

p (79,80) = p1980   = 1,38 = 1,15 ou 115% ou simplesmente 115.

p1979            1.20

Esse resultado indica que em 1980 houve um aumento de 15% no preço do artigo com relação ao preço do mesmo artigo em 1979.

Se tivéssemos p 1980 = 112 (cruzeiros) e P1979 = 120, o relativo de preço seria:

                                   p (79,80) = 112  = 0,93 ou 93% ou 93.

                                                120

Em 1980 0 artigo em questão apresentou um preço de 7% inferior ao de 1979.

2.2.      Relativo (Relação) de Quantidade

Assim como podemos comparar os preços de bens, podemos também fazê-lo em re1ação a quantidades, querem sejam elas quantidades produzidas, vendidas ou consumidas. Se fizermos q t= quantidade de um produto na época atual (época t) é qo = quantidade desse mesmo produto na época zero (básica), a quantidade relativa será o seguinte quociente:

q(o,t) =  qt

          qo

que representa a variação da quantidade na época t com re1ação a uma época 0 (base).

Exemplo

Uma empresa produziu 45 toneladas de aço em 1979 e 68 toneladas em 1980. A quantidade relativa será, tomando-se o ano de 1979 como base:

q (79,80) =   q 80  =   68  = 1,51 ou 151%ou 151

            q 79            45

No ano de 1980 esta empresa aumentou sua produção de 51% em relação a 1979.

2.3.      Relativo (Relação) de Valor

Se p for o preço de determinado artigo em certa época e q a quantidade produzida ou consumida desse mesmo artigo na mesma época, então, o produto p x q será denominado valor total de produção ou de consumo. Sendo p t e  q t respectivamente, o preço e a quantidade de um artigo na época atual (t) e po e qo, o preço e a quantidade do mesmo artigo na época básica (0), definimos como total o valor relativo ou simplesmente valor relativo o quociente:

            v (o,t)  =          _vt_ = pt . qt  = po, t  . q o,t

                 vo   po . qo

O fato de vo,t = Po,t . qo,t é conhecido como propriedade da reversibilidade dos fatores ou como critério da decomposição das causas.

Exemplo

Uma empresa vendeu, em 1970, 1000 unidades de um artigo ao preço unitário de Cr$ 500,00. Em 1971 vendeu 2000 unidades do mesmo artigo ao preço unitário de Cr$ 600,00.O valor relativo da venda em 1971 foi:

v (70, 71) = 600 . 2000 = 2,4 ou 240%.

500 . 1000

Em 1971, o valor das vendas foi 140% superior ao de 1970, alguns índices agregados não satisfazem a essa propriedade.

3.            EMPREGO DE ÍNDICES (AGREGATIVOS) PONDERADOS

Como vimos, os índices simples apresentam algumas desvantagens, em especial à se refere à inexistência de pesos diferentes para cada utilidade que os compõe de acordo com sua importância relativa. No caso dos índices ponderados, além da fórmula a ser usada para interpretar as variações de preço e de quantidade dos bens, há o problema do critério para a fixação dos pesos relativos de cada um deles. A ponderação proposta pelos métodos mais usados baseia-se na participação de cada bem no valor transacionado total e é feita, em geral, segundo dois critérios: peso fixo na época básica ou peso variável na época atual.

3.1.      Índice de Laspeyres ou Método da época Básica

O índice de Laspeyres constitui uma média ponderada de relativos, sendo os fatores de ponderação determinados a partir de preços e de qualidades da época básica, por conseguinte, no índice de Laspeyres, a base de ponderação é a época básica, dai a denominação método da época básica.

O peso relativo ou fator de ponderação relativa para um dado bem i, componente do índice, é dado por;

O numerador da expressão representa o valor do dispêndio com um dado bem i e o denominador a soma dos valores de todos os bens adquiridos na época básica. Assim sendo, w i0 equivale a participação relativa do valor do bem i, em re1ação ao valor de todos os bens transacionados, tendo como referenda a época básica.

Visite também:
Site sobre a História da Matemática em Portugal
Site sobre a História dos Matemáticos

 Voltar Menu Matemática           Fórmulas de matemática (I)