O famoso número Pi

Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com razões, ou seja, divisões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência, e o seu valor é um número "um pouquinho maior que 3".

É essa divisão (ou razão) que hoje chamamos pi (p).

Considerando c o comprimento de uma circunferência e d o diâmetro, temos:

O cálculo do valor exato de pi ocupou os matemáticos por muitos séculos.

Para chegar ao valor de p expresso por 3 1/6 (3 inteiros e 1 sexto), que é aproximadamente 3,16, os egípcios há 3 500 anos partiram de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media 9 unidades. Dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de 8 lados e calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência.

Os egípcios conseguiram uma aproximação melhor que a dos babilônios, para os quais "o comprimento de qualquer circunferência era o triplo de seu diâmetro", o que indicava o valor 3 para p.

Por volta do século III a.C., Arquimedes - o mais famoso matemático da Antiguidade, que viveu e morreu em Siracusa, na Grécia - também procurou calcular a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro.

Começando com um hexágono regular, Arquimedes calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados.

Calculando o perímetro desse polígono de 96 lados, conseguiu para p um valor entre 3 10/71 e 3 10/70. Ou seja, para Arquimedes p era um número entre 3,1408 e 3,1428.

Com um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio, Ptolomeu, que viveu em Alexandria, no Egito, por volta do século III d.C., conseguiu calcular o valor de p como sendo 377/120, que é aproximadamente igual a 3,1416, uma aproximação ainda melhor que a de Arquimedes.

O fascínio pelo cálculo do valor exato de p também tomou conta dos chineses. No século III d.C., Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3 072 lados.

Mas no fim do século V, o matemático Tsu Chung-Chih foi mais longe ainda: encontrou como valor de pi um número entre 3,1415926 e 3,1415927.

Nesta época, o grande matemático hindu Aryabhata deixou registrada esta afirmação num pequeno livro escrito em versos:

"Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62 000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20 000".

Se você recordar que o comprimento de uma circunferência é dado por c = p.d, fica fácil entender que a solução da equação de Aryabhata:

(4 + 100) . 8 + 62 000 = p . 20 000

104 . 8 + 62 000 = p . 20 000

832 + 62 000 = p . 20 000

62 832 = p . 20 000

62 832/20 000 = p

indica como 3,1416 o valor de p.

62 832/ 20 000 = 3,1416

Quanto maior o número de casas decimais, melhor é a aproximação que se obtém para p.

Até o século XV, o melhor valor para p havia sido encontrado pelo matemático árabe Al-Kashi: 3,1415926534897932.

Mas o cálculo mais impressionante foi efetuado pelo matemático holandês Ludolph van Ceulen (1540-1610) no final do século XVI.

Começando com um polígono de 15 lados e dobrando o número de lados 37 vezes, Ceulen obteve um valor para p com 20 casas decimais.

Logo em seguida, usando um número de lados ainda maior, ele conseguiu uma aproximação com 35 casas decimais!

Tamanha deve ter sido a emoção de Van Ceulen que, na sua morte, sua esposa mandou gravar no túmulo o valor de p com as 35 casas decimais.

Imagine como ele se sentiria se viesse a saber que no século XX computadores calculariam, em segundos, o valor de pi com 100, 1000, 10 000, milhões de casas decimais!

p = 3,14159265358979323846264 33832795028841971693993751058 20974944592307816406286208998 62803482534211706798214808651 32823066470938446095505822317 253594081128481117450284102701 93852110555964462294895493038 19644288109756659334461284756 48233786783165271201909145648 5669234603486104543266482...

Muito dos símbolos matemáticos que usamos atualmente devemos ao matemático suíço Leonhard Euller (1707-1783).

Foi Euller quem, em 1737, tornou conhecido o símbolo para o número p. Foi também nesta época que os matemáticos conseguiram demonstrar que é um número irracional.

Em tempos mais atuais, cinco trilhões de casas é o recorde quebrado por um adolescente americano de 17 anos para o valor de p. Colin Percival, usando  microcomputadores, completou a última etapa dos cálculos em setembro de 1998. Vinte e cinco microcomputadores, colocados à disposição de Percival por colaboradores em várias partes do mundo, auxiliaram-no a realizar os cálculos. Comunicando-se com cada máquina por e-mail, ele desenvolveu a tarefa distribuindo trabalho pela Internet. Cinco meses foram necessários para a conclusão da façanha.

O projeto PiHex, por meio do qual Percival conquistou o seu recorde, parte agora para um novo desafio - calcular 40 trilhões de casas do pi. Estima-se que serão necessários 10 anos para completar a tarefa. Bem, isto depende muito da velocidade dos processadores, pois a cada dia que passa estão mais velozes. Se quiser participar, entre no site www.cecm.sfu.ca/projects/pihex e copie o programa PiHex, que utiliza menos de 100k.

            Cabe salientar, que a conquista de Percival é um trabalho de “presidiário”, ou seja, de paciência e que não apresenta, praticamente, nenhuma utilidade prática (que redundância). Talvez testar o poder de cálculo dos computadores. Ou alguma importância científica. Como o número pi é irracional, os algarismos ocorrem aleatoriamente, sem lei. Calculando-se as casas e observando-se o que ocorre entre elas pode-se, quem sabe, chegar a descoberta de alguma repetição, de alguma lei de probabilidade.

            Como nós matemáticos utilizamos o pi em até, no máximo,  4 casas decimais (áreas como Física e a Química exigem softwares precisos, com linguagens de programação adequadas a 8 casas), acho o trabalho de Percival um pouco tedioso e desvantajoso. Bem, ciência também tem disto .

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