Conjuntos

Conjuntos Numéricos 

Números Naturais (N)
Como o próprio nome diz, são aqueles que surgiram naturalmente, da necessidade do homem de enumerar as coisas.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Números Inteiros (Z)
Além do conjunto N, o conjunto Z considera os números negativos inteiros.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Números Racionais (Q)
Ao conjunto dos números racionais, acrescentamos as frações positivas e negativas. Isso inclui as decimais exatas (finitas) e as decimais periódicas (infinitas).

Q = {..., -2, -3/2, -1, 0, 2/5, 1, ...}

Números Reais (R)
Por fim, o conjunto dos números reais inclui os números irracionais, além dos números naturais, inteiros e racionais. Números irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma a/b, tais como p, 2 e 6.

R = {..., -2, - 2, -1, 0, 1, 3, 2, 3, p}

Teoria de Conjuntos
Todo o conjunto é uma coleção de elementos. Um conjunto pode ser representado por:

extensão A = {a, b, c}

compreensão A = {x | x Î N e x < 2}

diagrama de Venn

Conceitos Básicos Dois conjuntos são iguais somente quando possuem os mesmos elementos. Conjunto vazio é um conjunto que não possui elementos, representado por { } ou Æ. Por exemplo, o conjunto dos números primos maiores que 13. Conjunto Universo é o conjunto ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos que estão sendo estudados. Exemplo: o conjunto dos números quando estudamos matemática. Conjunto Infinito é um conjunto com elementos infinitos, que não se acabam. Um exemplo de conjunto infinito é o conjunto dos números reais. Conjunto Finito é um conjunto com determinado número de elementos, que podem ser contados e representados. Por exemplo, o conjunto dos números pares maiores que 2 e menores que 10.

Como principais símbolos, destacam-se pela freqüência de uso durante o estudo de conjuntos:

Símbolos Lógicos | = tal que " = para todo $ = existe ao menos um Þ = implica Û = equivalente

Relação entre conjuntos Ì = está contido Ë = não está contido É = contém = não contém

Relação entre elementos Î = pertence Ï = não pertence

Subconjuntos
Se temos dois conjuntos, dizemos que um é subconjunto do outro se cada elemento daquele é também elemento deste. Por exemplo, se A = {2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8, 10}, dizemos que A é um subconjunto de B.

Representamos a relação entre conjuntos utilizando os símbolos está contido, não está contido, contém e não contém. Nesse caso, representamos A Ì B, pois todo o subconjunto de um conjunto está contido neste conjunto ou B É A, pois todo o conjunto contém seu subconjunto.

Conjunto das partes
O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto é determinado conjunto das partes deste conjunto, sendo indicado por P(A), sendo A = conjunto.

Dado um conjunto A = {2, 4, 6}, teremos como conjunto das partes de A 2ⁿ elementos, sendo n o número de elementos do conjunto A. No exemplo, n = 3, pois o conjunto A tem 3 elementos, logo, P(A) = 8, pois 8 = 2³:

P(A) = {Æ, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}}

É importante lembrar que: o conjunto das partes é formado pelas possíveis combinações entre os elementos do conjunto mais o conjunto vazio, já que adota-se, por convenção, que para todo conjunto A, tem-se que Æ Ì A;

Æ, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6} são elementos do conjunto P(A), por isso Æ Î P(A) e Æ Ì P(A), {2} Î P(A) e {2, 6} Î P(A).

Operações com Conjuntos  

União
A união de dois conjuntos é o conjunto formado por todos os elementos desses dois conjuntos. Sendo A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {0, 1, 7, 10}, então A È B = {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10}.

A È B = {x | x Î A ou x Î B}

Intersecção
A intersecção de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a esses dois conjuntos. Sendo A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {0, 1, 7, 10}, então A Ç B = {0, 10}.

A Ç B = {x | x Î A e x Î B}

Subtração
A diferença entre dois conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a um deles nas não pertencem ao outro. Sendo A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {0, 1, 7, 10}, então A - B = {2, 4, 6, 8}.

A - B = {x | x Î A e x Ï B}

É importante lembrar que se B Ì A, a diferença A - B denomina-se complementar de B em relação a A e indica-se C_AB. Em suma, o complementar de B em relação a A é o que falta para B ficar igual a A.

Intervalos
Um intervalo é a representação de qualquer subconjunto dos números reais. Uma bolinha aberta () significa que os extremos não pertencem ao intervalo e uma bolinha cheia () significa que os extremos pertencem ao intervalo.

Intervalo Aberto
Este intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b: {x Î R | a < x < b} ou ]a, b[

Intervalo Fechado
Este intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, inclusive a e b: {x Î R | a £ x £ b} ou [a, b]

Intervalo Semi-aberto à Direita
Este intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, inclusive a: {x Î R | a £ x < b} ou [a, b[

Intervalo Semi-aberto à Esquerda
Este intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, inclusive b: {x Î R | a < x £ b} ou ]a, b]

Intervalos Infinitos
Considera-se como intervalo ] - µ, + µ [ = R. Define-se como intervalos infinitos os seguintes subconjuntos de R:

{x Î R | X > a} = ] a, + µ [
{x Î R | X ³ a} = [ a, + µ [
{x Î R | X < a} = ] - µ, a [
{x Î R | X £ a} = ] - µ, a ]

Veja : Binomio de Newton

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