Fatoração

 

Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

Ex: ax + ay = a.(x+y)

Existem vários casos de fatoração como:

1) Fator Comum em evidência

Quando os termos apresentam fatores comuns

Observe o polinômio:
      ax + ay  » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.

Assim: ax + ay = a.(x+y)
                        Forma fatorada

Exs : Fatore:

a) bx + by - bz = b.(x+y-z)

b) 2x² - 4xy = 2x.(x - 2y)

c) 12ax²z + 24axz² - 12a²xz = 12axz.(x + 2z - a)

d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)

e)  x³ + 2x² - x  = x.(x² + 2x - 1)

2) Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:
                            ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

                            a.(x+y) + b.(x+y)

Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:

                            (x+y).(a+b)

Ou seja:  ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

Exs: Fatore:

a) x² - 3x + ax - 3a = x.(x - 3) + a(x - 3) = (x - 3).(x + a)

   x é fator    a é fator    (x-3) é fator comum     Forma fatorada
   comum      comum

b) 2b² + ab² + 2c³ + ac³ = b²(2 + a) + c³(2 + a) = (2 + a).(b² + c³)

   b² é fator      c³ é fator   (2+a) é fator comum   Forma fatorada
   comum        comum

3) Fatoração por diferença de quadrados:

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado

Assim:     x² - 9 = (x + 3).(x - 3)

Exs: Fatore:

a)  a² - b² = (a + b).(a - b)

b) 16a² - 1 = (4a + 1).(4a - 1)

c) 1 - 16x⁴ = (1 + 4x²).(1 - 4x²) = (1 + 4x²).(1 + 2x).(1 - 2x)
                   Note que é possível fatorar a expressão duas vezes

4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinômios (a² + 2ab + b² ) e ( a² - 2ab + b² ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.

    (a + b)²  =  a² + 2ab + b²              (a - b)²  =  a² - 2ab + b²

Assim:  4x² - 12xy + 9y²
           |                |
                  
           |                |
          2x               3y
           |__________|
                   |
          2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de  4x² - 12xy + 9y²

Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.
           4x² - 12xy + 9y² = (2x - 3y)²  » forma fatorada
                 |_______________|
                            Sinal

Logo:    4x² + 12xy + 9y² = (2x + 3y)² » forma fatorada
                 |________________|
                             Sinal

Exs:

a) x² - 10x + 25 = (x - 5)²

b) 16x² + 24xy + 9y²  = (4x + 3y)²

*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo:
Exs:

a)  3x² + 6x + 3 = 3(x² + 2x + 1) = 3(x + 1)²

b) 25a⁴ - 100b² = 25.(a⁴ - b²) = 25(a² + b).(a² - b)

Veja : Equação do 1o. grau

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