Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o
que é uma correspondência:
Correspondência: é
qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro
elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo
elemento pertence ao segundo conjunto dado.
Assim: Dado os conjuntos
A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência
de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se
associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim 
; 
; 
. A correspondência por pares ordenados seria:
Noções
de função:
Considere os
diagramas abaixo:
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1
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2
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3
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4
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5
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Condições
de existência:
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(1)
Todos os elementos de x têm um
correspondente em y.
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(2)
Cada elemento de x tem um e somente um
correspondente em y.
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Analisemos os
diagramas acima:
Somente os
diagrama 1,3 e 4 satisfazem as condições acima.
Os diagramas 2
só satisfaz a condição (1) e o diagrama 2 somente a condição
(2).
Logo, somente
os diagramas 1,3 e 4 representam uma função.
Domínio,
Contradomínio e Imagem
Observe o
diagrama a seguir:
Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares
ordenados serão:
f={(1,2),(2,3),(3,4)}
O conjunto
X={1,2,3} denomina-se domínio da função f.
D(F)=X
O conjunto Y={1,2,3,4,5}
denomina-se contradomínio da função f.
C(F)=Y
Dizemos que 2
é a imagem de 1 pela função f.
f(1)=2
Ainda, f(2)=3
e f(3)=4.
Logo o conjunto
das imagens de f e dado por:
Im(f)={2,3,4}
Determinação
de função:
Observe:
1) Associe
cada elemento de X com o seu consecutivo:
2) Associe cada elemento de X com a sua capital.
3) Determine o conjunto imagem de cada função:
a) D(f) = {1,2,3}
y = f(x) = x + 1
[Sol] f(1) = 1+1 = 2
f(2) = 2+1 =
3
f(3) =3+1 =
4
Logo: Im(f)={2,3,4}
b) D(f) = {1,3,5}
y = f(x) = x²
[Sol] f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² =
9
f(5) = 5² =
25
Logo: Im(f)={1,9,25}
Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º
grau!
Exemplo:
Numa loja, o salário fixo
mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe
de comissão 50 reais por produto vendido.
a) Escreva uma equação
que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do
número x de produto vendido.
[Sol] y=salário fixo +
comissão
y=500 + 50x
b) Quanto ele ganhará no
final do mês se vendeu 4 produtos?
[Sol] y=500+50x , onde x=4
y=500+50.4 =
500+200 = 700
c) Quantos produtos ele
vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?
[Sol] y=500+50x , onde
y=1000
1000=500+50x
» 50x=1000-500 » 50x=500 »
x=10
A relação assim definida
por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º
grau, sendo dada por:
Gráfico
da função do 1º grau:
|
O
gráfico de uma função do 1º grau de R em R é
uma reta.
|
Exemplo:
1) Construa o gráfico da
função determinada por f(x)=x+1:
[Sol] Atribuindo valores
reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
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x
|
y=f(x)=x+1
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-2
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-1
|
|
-1
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0
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|
0
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1
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1
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2
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|
2
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3
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O conjunto dos
pares ordenados determinados é
f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}
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2) Construa o gráfico da função determinada por
f(x)=-x+1.
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores
correspondentes para y.
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x
|
y=f(x)=-x+1
|
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-2
|
3
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-1
|
2
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0
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1
|
|
1
|
0
|
|
2
|
-1
|
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O conjunto dos
pares ordenados determinados é
f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}
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Gráficos crescente e decrescente respectivamente:
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y
= x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1
|
y
= -x+1 ( a<0 ); onde a=-1
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Função
crescente
|
Função
decrescente
|
Raiz ou zero da função do 1º grau:
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Para
determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º
grau, definida pela equação y=ax+b, como a é
diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção
da equação com o eixo x, que terá como
coordenada o par ordenado (x,0).
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1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine
a raiz desta função.
[Sol] Basta
determinar o valor de x para termos y=0
x+1=0 »
x=-1
Dizemos que -1
é a raiz ou zero da função.
Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará)
o eixo x em -1, que é a raiz da função.
2) Determine a raiz da função
y=-x+1 e esboce o gráfico.
[Sol] Fazendo y=0, temos:
0 =
-x+1 » x = 1
Gráfico:
Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará)
o eixo x em -1, que é a raiz da função.
Sinal de
uma função de 1º grau:
Observe os gráficos:
|
|
|
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a>0
|
a<0
|
Note que para x=-b/a, f(x)=0
(zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal
de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.
Exemplos:
1) Determine o intervalo
das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.
a) y=f(x)=x+1
[Sol] x+1>0 »
x>-1
Logo, f(x)
será maior que 0 quando x>-1
x+1<0
» x<-1
Logo, f(x) será
menor que 0 quando x<-1
b) y=f(x)=-x+1
[Sol]* -x+1>0 »
-x>-1 » x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1
-x+1<0
» -x<-1 » x>1
Logo, f(x) será
menor que 0 quando x>1
(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade)
Veja
: inequações
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