Sistemas de Equações

    Noções:

         A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números?

    Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações.

    Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número.

Pelo enunciado:
     » soma de dois números é 12, ou seja:  x+y = 12 ...I
     » a diferença entre eles é 4, isto é :     x-y = 4 .....II

     A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ).

     Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações:

     8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4)

     Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações:

Método da adição:

 » basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.

Ex: x + y = 12   
     x - y = 4

     Notamos que as duas equações possuem termos opostos
(y e -y).

     Com isso, basta somar as duas equações:
         X + Y = 12
         X - Y =   4
         2X    =  16
           X   =  8

     A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações.
        8+y=12                ou             8-y=4
           y=12-8                               -y=4-8
           y=4                                      y=4

     O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema.

Outro exemplo:

      2X + 3Y =  3 ... I
      4X + 6Y = 12.. II

     » Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável.
     Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada.
     Para isso, multiplicamos a equação I por -2:

         -4X - 6Y = -6... I
          4X + 6Y = 12... II
          0X + 0Y = 6.... III
     Observe que a equação III não possui solução, logo a solução do sistema seria vazio.

      S= { }

Método da substituição:

     » Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substitui-la na outra.

Ex: x+y=12 ... I
      x-y=4 .... II

     Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor:

     x+y=12  »  x=12-y

     Substituímos na outra equação:

    (12-y) - y = 4
          12-2y = 4 
             -2y = -8
                y=4
     Substituindo o valor encontrado em uma das equações:

       x+4=12   »  x=12-4  »  x=8

     Logo a solução do sistema seria:
             S = {(8,4)}

Ex:
        3X + 4Y = 46 ... I
        2X -  Y  = 16 ... II

      Escolhemos a variável y da equação II:
       Y = -16 + 2x ... II

      Substituindo na equação II :
        3X + 4( -16 + 2X) = 46
        3X - 64 + 8X = 46
       11X = 46 + 64 = 110
          X = 10

      Substituindo o valor de x encontrado em II:

      Y = -16 + 2.10 = 4

      Logo a solução do sistema é :

               S = {( 10,4 )}

Método da comparação:

» Consiste em compararmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações:

      x+2y=2     »   x=2-2y
      x+y = 3     »   x=3-y

      Comparando as duas equações:
                2-2y=3-y
               -2y+y=3-2
                   -y = 1
                    y = -1

      Substituindo o valor de y encontrado:

           x = 2-2.(-1)  »  x=2+2=4

     Portando S= {(4,-1)}

Veja : inequações

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