Equação do Segundo Grau

Revisão de Matemática: Equação do Segundo Grau

 

Matemática: Equação do Segundo Grau

Resumão – Revisão da Matéria de Matemática – Revisando seus conhecimentos
Matemática: Equação do Segundo Grau

 

Revisão de Matemática: Equação do Segundo Grau

 

Equação do Segundo Grau

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax2+bx+c, com coeficientes numéricos ab e c com a ≠ 0.
Exemplos:

Equaçãoabc
x2+2x+1121
5x-2x2-1-2-5-1

 

Classificação:
• Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do segundo grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do segundo grau incompleta:

segundo caso: c=0
Considere a equação do segundo grau incompleta:
x– 9x = 0 »  Basta fatorar o fator comum x
x(x-9) = 0  »  x = 0,9

3º caso: b=c=0
2x2=0  »  x=0

 

Resolução de equações do segundo grau

A resolução de equações do segundo grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do segundo grau completas, ou seja, do tipo ax2+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
– Uma equação do segundo grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bhaskara.

Como Bhaskara chegou até a fórmula de resolução de equações do segundo grau?
Considerando a equação: ax2+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bhaskara:
Multiplicamos os dois membros por 4a:
4a2x2+4abx+4ac=0
4a2x2+4abx=-4ac

Somamos b2 aos dois membros:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
Fatoramos o lado esquerdo e chamamos de Δ(delta) b² – 4ac:

Logo   ou

 

Fórmula de Bhaskara:

       

Utilizando a fórmula de Bhaskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
 = (-7)²-4∗3∗2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:


Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4

Substituindo na fórmula de Bhaskara:

– Neste caso, tivemos uma equação do segundo grau com duas raízes reais e iguais. (Δ = 0 )

3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5

Note que Δ<0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo: V = {Ø} ⇒ vazio

 

Propriedades:

Δ > 0Duas raízes reais e diferentes
Δ = 0Duas raízes reais e iguais
Δ < 0Nenhuma raiz real

 

Relações entre coeficientes e raízes

soma = produto = 

Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax2+bx+c=0, com a ≠ 0 e Δ ≥ 0, suas raízes são: 
A soma das raízes será:


Logo, a soma das raízes de uma equação do segundo grau é dada por:
O produto das raízes será:

Logo, o produto das raízes de uma equação do segundo grau é dada por: 

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
Obtendo:
Substituindo por

 

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do segundo graux² – Sx + P = 0

Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² – 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

b) 2x² – 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8 :

c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4 :

 

Resolução de equações fracionárias do segundo grau

Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplos resolvidos:
a)   onde x≠ 0, pois senão anularia o denominador
Solução: Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x
Então:  Revisão de matemática equação de segundo grau
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais: 8 + x2 = 6x → x2 – 6x + 8 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara: x2 – 6x + 8 = 0

Logo, x = 2 e x’ = 4 →  S={2,-4}

b )

Solução: m.m.c dos denominadores: (x-1) ∗ (x+2)
Então: 
Eliminando os denominadores:
2x2 + 4x + x – 1 + 5x + 1 → 2x2 = 2  → x2 = 1 → x = ±1

Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:
x=-1 → S={-1}

 

Resolução de equações literais do segundo grau

Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.

Equaçãoabc
x² – (m+n)x + p = 01-(m+n)p

Exemplo: Determine o valor da incógnita x.
1) x² – 3ax + 2a² = 0

Solução: Aplicando a fórmula de Bhaskara:
a=1, b=-3a, c=2a²

logo: x = 2a  e  x = a →  S={a,2a}

 

Resolução de equações biquadradas

Equação biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:

ax4 – bx2 + c = 0  onde a ≠ 0

Exemplo resolvido:
1) x4 – 5x2 + 4 = 0
Fazendo x² = y , temos  x4 = y2
Substituindo os valores na equação, temos: y² – 5y + 4 = 0
Aplicando Bhaskara:

Logo, y = 4  e y’= 1
Voltando a variável x:
Como y=x², temos: x²=4   → e    x²=1 → x = ±1
Então a solução será: S={-2,-1,1,2}, ou simplesmente: S = {±2,±1}

Veja: inequações

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