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Dúvidas respondidas de Matemática

 

 
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 Resposta de sua dúvida:

 

Pergunta: Caro amigo professor, não compreendo o motivo do resultado do livro apresentar 32 a este exercício sendo que não consigo chegar neste resultado, será que pode dar uma olhadinha onde eu erro? Escreva todos os fatores na base 2 e calcule  o  valor de:  2-3.0,54.8

Resposta: Pelo e-mail tenho que escrever desta forma:
2^-3 x 0,5^4 x 8  

Vamos lá:
Temos:
2^-3 . 0,5^4 . 8, vamos ver por partes:
0,5 = 1/2 = 2^-1, logo 0,5^4 = (2^-1)^4=2^-4
8 = 2^3
logo:

2^-3.0,5^4.8 = 2^-3.2^-4.2^3= 2^(-3-4+3) = 2^-4=
(1/2)^4 = 1/2^4 = 1/16

Realmente o resultado do livro deve conter algum equivoco. Veja se copiou o problema corretamente.

 

Pergunta: Dadas as funções f(x) = x2 + 1  e  g (x) = 3x – 1, calcule f(f(x)) e g(g(x)). Dados:

f (x) = x2 +1

g (x) = 3x – 1

f(f(x))  e  g(g(x))

Resposta: 

  1. f(f(x)) Þ f (x2 + 1) = ( x2 + 1)2 + 1

 ( x2 + 1)2 =  quadrado do primeiro + duas vezes o primeiro vezes o segundo e o quadrado do segundo, assim teremos:

                         x4 + 2x2 + 1 + 1

                                     

                  e não     Þ x4 + 1 + 1  como vc havia feito

                              

                  logo resposta certa : x4 + 2x2 + 2

          resposta errada         = x4 + 2

 

  1. g (g(x)) Þ g ( 3x – 1) = 3 ( 3x – 1 ) – 1

                                   Þ 9x – 3 – 1

                                  

                                   = 9x – 4

estava tudo ok a segunda, porque não há quadrado, é uma operação simples.

 

Pergunta: Tenho dúvidas nessa questão da Fuvest 97: (Fuvest-SP) Durante uma viagem choveu 5 vezes. A chuva caía pela manhã ou à tarde, nunca o dia todo. Houve 6 manhãs e 3 tardes sem chuva. Quantos dias durou a viagem?
a) 6          b)7           c)8            d)9            e)10
fizemos os cálculos e deu 8. mas vimos os resultados que apontaram 7. poderia me explicar? De 6 dias que não choveu de manhã, choveram 3 tardes. Então faltavam 2 períodos para chover. Como não choveu nenhum dia o dia inteiro, foi preciso pelo menos mais dois dias p/ chover o resto. Então, a viagem durou 8 dias....

Resposta:  Vamos considerar:
MC = manhã com chuva
MS = manhã sem chuva
TC = tarde com chuva
TS = tarde sem chuva

Temos que :
MC + TC = 5 => TC = 5 - MC
MS = 6
TS = 3
MC + MS = TC + TS
MC + 6 = 5 - MC + 3
MC + MC = 8 - 6
2 MC = 2
MC = 1
logo:
TC = 5 - 1 = 4
Portanto
MS + MC = 6 + 1 = 7
TS + TC = 4 + 3 = 7

Portanto a viagem durou 7 dias.

Por outro angulo pode-se ver assim:

Considere o dia como constituído de dois períodos: manhã e tarde.
A chuva caía ou só de manhã, ou só à tarde.
Choveu 5 vezes, ou seja, houve 5 períodos de chuva durante a viagem.
Houve 6 manhãs e 3 tardes sem chuva. Ou seja, houve 6+3 = 9 períodos sem chuva.
Então, a viagem durou 5+9 = 14 períodos.
Como consideramos acima que o dia possui dois períodos, então, o número de dias que durou a viagem foi:
14/2 = 7 dias.

 

Pergunta: O número de raízes reais da equação 2 elevado a X = X+2 é: (A) zero  (B) 1 (C) 2  (D) 3 (E) 4

Resposta: Consideremos a função f(x)=2^x-x-2. (^x = elevado a x).

Se derivarmos esta função em relação a x teremos df(x)/dx=2^x.ln(2)-1, 
derivando pela segunda vez temos df^2(x)/dx^2=2^x.ln(2)^2.
A primeira derivada só se anula quando x=-ln(ln(2))/ln(2),
isto quer dizer que o gráfico de f, corta o eixo x no máximo duas vezes, ou seja, f tem no máximo duas raízes.

No entanto temos, f(-2)=1/4, f(0)=-1, f(3)=3. Sendo f uma função continua (teorema do valor intermediário), o único modo para que isto aconteça é tendo uma raiz entre -2 e zero e outra entre zero e três.
Portanto a equação dada tem duas raízes.
Obs: uma das raízes é 2 e a outra é aproximadamente -1,690093068.

Resp.: 2 (C)

 

Pergunta: Uma equação de 2º grau possui como raízes os valores 3 e 7 . Assinale a equação de 2º grau que satisfaz a condição.  
a) x(2) + 10x - 21 = 0 
b) x(2) - 8x +15 = 0 
c) x(2) + 8x - 15 = 0 
d) x(2) - 10x + 21 = 0. 
Obs. sendo o "(2)" o caracter anterior elevado ao quadrado.

Resposta: Como se monta uma equação de segundo grau a partir das suas raízes? Depois que eu lhe ensinar o truque, você vai conseguir resolver não só este como muitos outros problemas.

Imagine uma equação padrão: ax² + bx + c = 0, tá? A soma das raízes é S=-b/a e o produto das raízes é P=c/a. 

Ou seja, a mesma equação pode ser escrita assim: x² - Sx + P = 0. Muito cuidado com a inversão do sinal na soma.

Nesse caso aí, as raízes são 3 e 7. Sua soma é S=3+7=10 e seu produto é P=3.7=21. 
Na equação:
x² - Sx + P = 0 colocamos os valores de S e P:
x² - 10x + 21 = 0 e a resposta certa é a letra (d). 
De novo eu aviso: muito cuidado porque o sinal da soma é invertido.

 

Pergunta: O mínimo múltiplo comum (MMC) dos três valores algébricos 2AB, 3AC, CD,  vale:  a) 6BCD;  b) ABCD;  c) 6A(2)BC(2)D; sendo o "(2)" o caracter anterior elevado ao quadrado. d) 6ABCD.

Resposta: o mmc é 6ABCD, basta vc efetuar a operação como se fosse numeros comuns, isto é
2AB - 3AC - CD | 2
AB 3AC CD | 3
AB AC CD | A
B C CD | B
1 C CD | C
1 D | D
1 | portanto 6ABCD.
Resp.: (d)

 

Pergunta: Pedro, Maria, João, Lúcia e Alice mediram o comprimento de um muro com diferentes unidades. Sabemos que:
. a unidade usada por João é 2 cm maior do que a unidade usada por Pedro;
. a unidade usada por Maria é 3 vezes maior do que a unidade usada por Pedro;
. a unidade usada por Lúcia é 3 cm maior do que a unidade usada por Maria;
. a unidade usada por Alice é metade da unidade usada por Maria.
Os valores numéricos para as medidas aproximadas encontradas, em ordem crescente, são: 14 , 16 , 32 , 40 e 48
A medida  encontrada por Alice é:
(A) 14               (D) 40
(B) 16               (E) 48
(C) 32

Resposta: O exercício proposto é interessante, mas, se não houver nenhum engano no texto, haverá um problema na resolução.
Veja bem:

Quando efetuamos uma mesma medida com unidades diferentes, a medida será grande se a unidade for pequena e vice-versa.
Portanto, o problema se resume a descobrir em que ordem de tamanho se encontra a unidade de Alice.
Ora, pelas informações, a medida de Pedro é a menor, a de Maria (que poderia ser representada por 3p) e a de Lúcia (que pode ser representada por 3p + 3) são as maiores.A medida de Alice é obviamente menor que a de Maria (já q é a metade!). Então se representarmos a medida de Alice por 3p/2 e a medida de João por p + 2, restará descobrir se a medida usada por Alice é maior ou menor q a de João.
E aí é q está o problema! Repare q se a medida usada por Pedro for igual a 4, as medidas de Alice e de João serão iguais; se p for MENOR q 4, a medida de João será maior e se p for MAIOR q 4, a medida de João será a menor.
Da forma como o problema está colocado, não é possível saber a ordem de grandeza da unidade de Alice, mas, só para vc ter uma idéia, imagine q, colocadas em ordem crescente, a unidade de Alice seja a segunda.A medida encontrada por ela seria então a penúltima(40 letra D ).

 

Pergunta: Escreva os cinco primeiros termos e descubra o valor  do décimo termo de cada seqüência:  B(n) = 3n  Sendo as respostas as seguintes :  (  -4,-1,-2,5,8,11,...B(10) = 26)  Como se chega a este resultado?  E o seguinte:  Determine qual é o próximo termo de cada uma das seguintes seqüências? a) 1,4,9,16,25,? sendo a resposta : 36  
b) 1,3,7,13,21,31,? sendo a resposta : 43   Como se chega a este resultado?

Resposta: 
1,4,9,16,25
essa seqüência equivale a:

1², 2², 3², 4², 5²,.........

então o próximo valor é 6² = 36

Achar os 5 primeiros termos e o 10º da seqüência B(n) = 3n ? Acho que faltam dados.

As outras são fáceis.

a) É uma seqüência de quadrados de números naturais: 1, 4, 9, 16, 25,... é o mesmo que 1², 2², 3², 4², 5²,... O próximo termo será 6² = 36.

b) Considere os números naturais ímpares, isto é, 2n-1, para n>0 : {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45,... }
Na seqüência 1, 3, 7, 13, 21, 31,... são todos ímpares, mas o intervalo não é constante.
Entre 1 e 3, nenhum foi pulado; entre 3 e 7, pularam 1 (5); entre 7 e 13, pularam 2 (9, 11); entre 13 e 21, pularam 3 (15, 17, 19); entre 21 e 31, pularam 4 (23, 25, 27, 29). Agora, para achar o número que vem depois de 31, devemos pular 5 (33, 35, 37, 39, 41) e o próximo termo será 43.

Ficou fácil agora?

 

Pergunta: Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ 19.500,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro, para o importador?
a)R$ 22.500,00
b)R$ 25.350,00
c)R$ 31.200,00
d)R$ 24.000,00
e)R$ 39.000,00

Resposta: O primeiro paço é descobrir o valor líquido do carro, sem os 30%.
Montando a equação para sabermos o preço líquido (x) do carro teremos:

O valor final inicial é de 19.500 incluso 30%, assim temos:
 
19.500 =  x + (30/100).x =  <=>
(100x+30x)/100 = 19.500 <=>
130x/100 = 19.500 <=>
130x = 19.500.100 <=>
x = 19.50000/130 <=>
x = 15.000 , onde x é o valor líquido do carro
 
Se passará de 30% para 60% o valor do imposto e sabemos o valor líquido, temos apenas que somar 60% ao valor líquido.
 
y = novo preço
y = 15.000 . 60%
y = 15.000 . (60/100)
y = 24.000
 
Assim a resposta é alternativa D

 

Pergunta: 

01) Transformando 12º em radianos, obtemos:
(a) pi sobre 15 rad
(b) 15 sobre pi rad
(c) pi sobre 30 rad
(d) 2pi sobre 15 rad
(e) 12 rad

Resposta: resolveremos por regra de três.
180°-------Pi rad
12°-------X rad

180*X = 12*Pi
X = (12*Pi)/180
X = (12/180)*Pi (dá na mesma)
X = (1/15)*Pi
X = Pi/15 rad
Portanto um ângulo de 12° corresponde a um arco de pi/15 radianos. Alternativa a.

 

Pergunta: 

02) Adotando-se pi= 3,14 exprimir (aproximadamente) 1 radiano em graus.
(a) 180º
(b) 360º
(c) 57,32º
(d) 62,27º
(e) 90º

Resposta: Vc sabe que no círculo trigonométrico, o ângulo de 360° vale 2Pi radianos, então, metade dele, 180º, vale Pi radianos. Aplicando a regra de três, obtemos:
180º--------Pi radianos
X°---------- 1 radiano

X*Pi = 180*1
X = 180/Pi = 180/3,14
X = 57,32°

Portanto um arco de 1 radiano corresponde à um ângulo de 57,32°. Alternativa c.

 

Pergunta: Se x y e z são inteiros em p.a. calcule 2^x vezes 2^y  vezes 2^z. 

Resposta: Se x, y e z estão em PA, temos uma razão r, onde:
x = y-r
z = y+r
logo:
2^x = 2^(y-r)
2^z = 2^(y+r)
portanto:
2^x.2^y.2^x=2^(y-r).2^y.2^(y+r)= 2^(y-r+y+y+r) =
= 2^3y=(2^3)^y=8^y

 

Pergunta: SEJA A o conjunto dos 1993 primeiros números inteiros estritamente positivos a)Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A b)Quantos números de A não são múltiplos inteiros nem de 3 nem de 5.

Resposta: a) vejamos: entre 1 e 1993, temos que 15 é o primeiro múltiplo e 1980 é o último múltiplo. Assim, temos uma PA onde:
a1 = 15
an = 1980
r = 15
logo:
an = a1+(n-1).t
1980=15+(n-1).15
1980=15+15n-15
1980=15n
n = 11980/15
n = 132

b) múltiplos de 3:
a1 = 3
an = 1992
n = 1992/3
n = 664
múltiplos de 5
a1 = 5
an = 1990
n = 1990/5
n = 398
A principio bastaria somar 664+398 = 1062, porém temos contabilizados ai os múltiplo de 15, que são divisíveis por 3 e 15, logo o número será 1062-132=930 números divisíveis por 3 e por 5, portanto teremos:
1993-930 = 1063 números que não são divisíveis por 3 ou por 5.

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